Imagina esto: vas al supermercado y decides comprar naranjas. El precio es de 2 dólares por cada naranja, pero te dicen que si compras más de 10 naranjas, te harán un descuento. Ahora empiezas a pensar: ¿Cuánto voy a gastar si compro 5 naranjas? ¿Y si compro 20? Parece una situación simple, ¿verdad? Pues bien, sin saberlo, acabas de enfrentarte a una de las entidades matemáticas más importantes: una función.
Si abres un libro de matemáticas, es probable que encuentres una definición como esta:
«Una función f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto D exactamente un elemento en un conjunto E.»
Ya sé, suena complicado. Pero no te preocupes. Vamos a traducirlo: una función es simplemente una regla que transforma un valor en otro. Podemos visualizarlas como una máquina. Esta máquina toma toma materia prima o inputs y devuelve un producto o output. Por ejemplo, una máquina de helados toma inputs, como leche, chocolate y azúcar y devuelve un output: un helado de chocolate.
Lo que diferencia a las funciones matemáticas de una máquina de helados de chocolate es que, en lugar de tomar ciertos alimentos y producir otros, las funciones matemáticas toman números y devuelven otros números. Asimismo, en lugar de estar compuestas por placas de metal, fajas, tuercas y tornillos, estas están compuestas por símbolos y números, como estos que ves en pantalla.
f(x) = 2x + 3
Esta expresión nos dice que la función f de un número x equivale a la suma del número 3 con la multiplicación de una variable x por 2. Así, una función matemática solo es una regla que nos dice cómo transformar un número, que usualmente llamamos input o entrada, en otro número, al que se le dice output o salida.
Por ejemplo, si ingresamos el número 4 y seguimos lo que nos dice la regla, obtendremos como resultado la suma de 8 y 3, que es 11. Así, nuestra función ha transformado el número 4 en 11. Simple, ¿no?
Ahora, las funciones tienen muchas formas de ser representadas. Estas pueden ser representadas por medio de fórmulas, como estas, pero también pueden ser representadas con palabras, tablas o gráficas.
Por ejemplo, un vendedor de frutas nos puede decir lo siguiente: el precio de la naranja es de 2 dólares cada naranja y, por más de 10, este precio es reducido en 50 centavos. Así, 5 naranjas nos costarían 10 dólares; 10 naranjas,15 dólares; y 20 naranjas, 20. Esto mismo lo podemos representar usando una tabla, como esta que ves en pantalla, o una fórmula.
Obviamente, en los cursos de matemáticas, usualmente las representaremos con fórmulas, aunque también es muy común y útil el uso de gráficas para visualizarlas. Pero ¿cómo las podemos representar gráficamente? Veamos.
Imagina que tienes una regla que dice que por cada número «x», el valor de salida será «x + 1». Así que, si introduces 0, el resultado será 1; si introduces 1, obtendrás 2, y así sucesivamente. Esta regla se puede representar con la función f(x) = x + 1.
Para graficar esto, necesitas un sistema de coordenadas: un eje horizontal para los inputs (x), y uno vertical para los outputs (f(x)). Con los ejes dibujados, el siguiente paso es asignar valores a x y calcular sus correspondientes valores de f(x) usando la fórmula. Por ejemplo, si x = 0, entonces f(0) será igual a 1 más 0, o sea 1. Si x es 1, entonces f(1) será 2, y así sucesivamente.Una vez que tengamos todos estos puntos, nos daremos cuenta de que la función f(x) puede ser representada por una línea recta inclinada. Para cualquier valor que toma x, nuestra regla nos devolverá un valor que se encuentre en esta línea. Por ejemplo, si x toma el valor de 3.2, f(x) será 4.2, un valor que también se encuentra en esta línea.
Las gráficas son útiles porque te permiten ver de un vistazo lo que está ocurriendo. Si ves una línea recta, sabes que la relación entre los valores de entrada y salida es constante. Pero las funciones pueden tener formas mucho más complejas, como esta que te mostramos.
Pero ¿por qué dijimos que es útil representar las funciones como gráficas? Porque esta forma de representarlas nos ayuda a visualizar cuál es el dominio y rango de las funciones.
El dominio de una función es el conjunto de valores que podemos introducir en una función, mientras que el rango es el conjunto de valores que una función nos puede devolver. Veamos algunos ejemplos.
Consideremos la siguiente función f(x) = √x, que está representada por una curva que comienza en el punto (0, 0) y se extiende hacia la derecha. En este caso, el dominio no incluye todos los números, ya que no podemos introducir números negativos en la raíz cuadrada. Así, como vemos en esta gráfica, el dominio será todos los números no negativos.
Por otro lado, el rango también está limitado. Como la raíz cuadrada de un número no negativo siempre será un número positivo, f(x) solo puede devolver valores que son mayores o iguales a 0. Entonces, el rango de esta función también incluye solo a los número positivos.
Para expresar el dominio y el rango de esta función de manera más precisa, podemos utilizar la notación de intervalos. En este caso, expresaríamos el dominio de la siguiente manera [0, ∞), ya que x puede tomar cualquier valor desde 0 hasta el infinito. De manera similar, el rango lo podemos expresar con el intervalo [0, ∞).
Ahora, como mencionamos anteriormente, los dominios y rangos pueden variar dependiendo de la función. Por ejemplo, si consideramos la gráfica de la función que vimos anteriormente, veremos que su dominio serán todos los números reales; lo mismo que su rango.
De esta manera, las gráficas nos ayudarán a identificar cuáles son los dominios y rangos de las funciones. Si bien este proceso puede ser un poco lento, con el tiempo podrás predecir cómo es la forma de una función viendo su fórmula y así podrás ubicar fácilmente estos datos sin necesidad de graficar punto por punto una función.
Todo esto puede parecer muy teórico, pero entender cómo funcionan las funciones tiene aplicaciones muy prácticas. Ya sea que estés calculando la mejor tarifa de tu plan de teléfono, entendiendo cómo se la trayectoria de un planeta, o incluso diseñando algo como un circuito eléctrico, las funciones están en todas partes.
Lo bueno es que, una vez que comprendes cómo visualizarlas y representarlas, puedes aplicarlas en casi cualquier situación.
